Cos'è integrale per parti?

Integrazione per Parti

L'integrazione per parti è una tecnica di integrazione che deriva dalla regola del prodotto per la derivazione. È particolarmente utile quando l'integrale è composto da un prodotto di due funzioni di forma diversa, rendendo difficile o impossibile l'applicazione diretta di altre tecniche di integrazione.

Formula Fondamentale:

L'integrazione per parti si basa sulla seguente formula:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Dove:

• u e v sono funzioni di x
• du è la derivata di u rispetto a x (du = u' dx)
• dv è la derivata di v rispetto a x (dv = v' dx)

Come Utilizzare l'Integrazione per Parti:

1. Identificare u e dv: La chiave per applicare con successo l'integrazione per parti sta nell'identificare correttamente quali parti dell'integranda devono essere considerate come u e quali come dv. La scelta di u e dv influisce significativamente sulla complessità dell'integrale risultante. Una regola mnemonica utile per scegliere u è LIATE o ILATE:

   • Logarithmic functions (e.g., ln(x), log₂(x))
   • Inverse trigonometric functions (e.g., arcsin(x), arctan(x))
   • Algebraic functions (e.g., x, x², polynomiali)
   • Trigonometric functions (e.g., sin(x), cos(x))
   • Exponential functions (e.g., eˣ, 2ˣ)

   La funzione che compare prima nella lista è generalmente una buona scelta per u.

2. Calcolare du e v: Una volta identificate u e dv, è necessario calcolare du (la derivata di u) e v (l'integrale di dv).

3. Applicare la Formula: Sostituire u, v, du e dv nella formula di integrazione per parti: ∫ u dv = uv - ∫ v du

4. Valutare l'Integrale ∫ v du: L'obiettivo dell'integrazione per parti è semplificare l'integrale originale. Idealmente, l'integrale ∫ v du sarà più facile da valutare rispetto all'integrale originale ∫ u dv. Se l'integrale ∫ v du è ancora difficile da risolvere, potrebbe essere necessario applicare l'integrazione per parti di nuovo (integrazione per parti ripetuta).

5. Aggiungere la Costante di Integrazione: Ricordarsi di aggiungere la costante di integrazione (+C) alla fine del risultato finale, poiché si tratta di un integrale indefinito.

Esempio:

Calcolare l'integrale ∫ x cos(x) dx

1. Identificazione:

   • u = x (algebraica)
   • dv = cos(x) dx (trigonometrica)

2. Calcolo:

   • du = dx
   • v = ∫ cos(x) dx = sin(x)

3. Applicazione della Formula: ∫ x cos(x) dx = x sin(x) - ∫ sin(x) dx

4. Valutazione: ∫ x cos(x) dx = x sin(x) - (-cos(x)) + C ∫ x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

Quando Usare l'Integrazione per Parti:

• Quando l'integrale è un prodotto di due funzioni di "tipi" diversi (ad esempio, un polinomio e una funzione trigonometrica, o una funzione logaritmica e una funzione algebrica).
• Quando l'integrazione diretta o per sostituzione non sono applicabili.
• Quando l'integrazione per parti può semplificare l'integrale risultante.

Argomenti Importanti:

• Scelta di u e dv: La scelta appropriata di u e dv è cruciale. La regola%20LIATE può essere d'aiuto.
• Integrazione per Parti Ripetuta: A volte, l'integrale ∫ v du risultante richiede un'ulteriore applicazione dell'integrazione per parti.
• Integrali Ciclici: In alcuni casi, l'applicazione ripetuta dell'integrazione per parti può portare a un integrale simile all'integrale originale, formando un "ciclo". In questi casi, è possibile risolvere l'equazione risultante per trovare il valore dell'integrale.
• Integrali Definiti: Per gli integrali definiti, è necessario valutare uv agli estremi di integrazione: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ - ∫ₐᵇ v du. Il teorema%20fondamentale%20del%20calcolo è applicabile.
• Integrazione%20impropria: Per l'integrazione impropria, è necessario prestare attenzione ai limiti di integrazione. La convergenza%20degli%20integrali impropri deve essere verificata.